В школе на уроках геометрии очень часто приходится иметь дело с треугольниками, а самая распространённая задача — нахождение их элементов, в частности, сторон, по другим известным параметрам. Рассмотрим различные варианты решения таких задач в зависимости от исходных данных.
Общие случаи
Известен периметр и 2 стороны
Периметр (P) — это сумма длин всех сторон.
Следовательно, чтобы найти неизвестную сторону, необходимо вычесть из периметра две заданных:
a = P − (b+c).
Известны площадь и высота
Высота — отрезок, проведённый из вершины треугольника к одной из его сторон под углом 90°.
Зная площадь треугольника и высоту, можно найти сторону, к которой она проведена, используя формулу площади:
S = ½·a·h, где h — высота, S — площадь.
Выразив отсюда неизвестную сторону, получим:
a = 2·S/h.
Примечание: если высота не задана, но известны другая сторона и угол между ней и искомой, то высоту можно найти через синус этого угла:
h = b·sin(α).
И если подставить это выражение в полученную выше формулу, она приобретает вид:
a = 2·S/(b·sin(α)).
Пример
Дано:
S = 5, b = 4, α = 30°.
Решение:
h = b·sin (α) = 4·sin (30) = 4·½ = 2;
a = 2·S/h = 2·5/ 2= 5.
Известны 2 стороны и угол между ними
Стороны треугольника связаны между собой теоремой косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В формульном виде равенство записывается как
c² = a²+b²−2·a·b·cos(α),
то есть неизвестную сторону с можно найти, если извлечь квадратный корень из этого выражения.
Пример
Дано:
а = 5, b = 10, α = 60°.
Решение:
c = √(a²+b²−2ab·cos(α)) = √(5²+10²−2·5·10·cos(60)) = √(25+100−100·½) = √75 = 5√3.
Известны 2 угла и сторона
Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов:
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(ɣ).
Соответственно, в зависимости от конкретных исходных данных можно выразить искомую сторону:
a = b·sin(α)/sin(β) или a = c·sin(α)/sin(ɣ);
b = a·sin(β)/sin(α) или b = c·sin(β)/sin(ɣ);
c = a·sin(ɣ)/sin(α) или c = b·sin(ɣ)/sin(β).
Пример
Дано:
b = 10, α = 45°, β = 30°.
Решение:
a = b·sin(α)/sin(β) = 10·(√2/2):(½) = 10·(2√2)/2 = 10√2.
Известен противолежащий угол и радиус описанной окружности
Существует расширенная теорема синусов, устанавливающая связь между отношениями сторон к противолежащим углам и радиусом окружности, описанной вокруг треугольника:
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(ɣ) = 2R.
Тогда стороны можно представить как
a = 2·R·sin(α);
b = 2·R·sin(β);
a = 2·R·sin(ɣ).
Частные случаи
Прямоугольные треугольники
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
Поскольку cos(90°) = 0, то последнее слагаемое (удвоенное произведение сторон) сокращается, и выражение преобразуется в привычное всем со школьной скамьи «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»:
c² = a² + b².
Отсюда можно найти гипотенузу
c = √(a² + b²),
а также катеты
a = √(c² − b²) и b = √(c² − a²).
Тригонометрические функции
Тригонометрия вводит понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса — отношения сторон прямоугольного треугольника относительно его углов:
sin(α) = a/c;
cos(α) = b/c;
tg(α) = a/b;
ctg(α) = b/a.
Кроме того, не стоит забывать, что сумма углов треугольника равна 180°, а поскольку известно, что один из углов прямой, то два оставшихся связаны выражением α+β=90°.
Таким образом, зная в прямоугольном треугольнике всего лишь 1 любой угол и 1 любую сторону, можно найти все остальные элементы:
α = 90 − β или β = 90 − α;
a = c·sin(α) или a = b·tg(α);
b = c·cos(α) или b = a·ctg(α);
c = a/sin(α) или c = b/cos(α).
Пример 1
Дано:
в прямоугольном треугольнике a = 4, α = 30°.
Решение:
b = a·ctg(α) = 4·ctg(30) = 4√3;
c = a/sin(α) = 4:½ = 4·2 = 8.
Пример 2
Дано:
в прямоугольном треугольнике b=4, S=6.
Решение:
катет прямоугольного треугольника является одновременно и его высотой, проведённой к другому катету.
Значит справедлива формула из пункта про площадь и высоту
a = 2·S/h, где h=b.
Тогда a = 2·S/b = 2·6/4 = 3, а гипотенузу найдём по теореме Пифагора:
c = √(a²+b²) = √(3²+4²) = √25 = 5.
Равнобедренные треугольники
В равнобедренном треугольнике равны углы при основании и две других стороны («бедра»), что может значительно облегчить расчёты по общим формулам.
К примеру, теорема косинусов упростится до b = a·√(2−2cos(β)).
Также основание можно найти тригонометрическими формулами, проведя высоту и воспользовавшись полученными 2 прямоугольными треугольниками:
b = 2·a·cos(α).
Если известно основание, то бёдра можно выразить из формул выше:
a = b/√(2−2cos(β)) или a = b/2cos(α).
А если даны площадь и угол между равными сторонами, можно использовать формулу площади равнобедренного треугольника: S = ½ a²⋅sin(β), откуда
a = √(2·S/sin(β)).
Равносторонние треугольники
Как можно понять из названия, в равносторонних треугольниках равны все стороны, а все углы всегда составляют 60°. Это ещё сильнее упрощает все возможные формулы.
Например, зная высоту, можно легко найти сторону через синус угла:
a = h/sin(60°) = 2h/√3.
Либо, если дана площадь, можно упростить формулу для равнобедренного треугольника, благодаря известным углам:
S = ½ a²⋅sin(β) = ½ a²⋅sin(60) = a²√3/4, откуда
a = 2√(S/√3)).
Полезные сервисы
Если самостоятельное вычисление вызывает затруднения или на него не хватает времени, можно прибегнуть к помощи онлайн-калькуляторов.
Один из наиболее полных и удобных — сайт MathWeb.
Чтобы получить решение задачи:
— найдите пункт «Сторона треугольника» в разделе «Стороны фигур»;
— выберите тип треугольника;
— введите все известные данные прямо на рисунке;
— нажмите кнопку «Вычислить».
Если введённых значений достаточно для вычисления, калькулятор выдаст расчёт всех элементов треугольника вместе с используемыми формулами, что очень полезно при выполнении домашнего задания.
Кроме того, несомненным плюсом этого сайта является неограниченное бесплатное использование, а также подробность решения.
